`:top

In der `F33f`_`[Statistik`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Statistik]`_`f wird die Bezeichnung `!lineares Modell`! (kurz: `!LM`!) auf unterschiedliche Arten verwendet und in unterschiedlichen Kontexten. Am häufigsten kommt der Begriff in der `F33f`_`[Regressionsanalyse`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Regressionsanalyse]`_`f vor und wird meistens synonym zu dem Begriff `F33f`_`[lineares Regressionsmodell`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Lineare_Regression]`_`f benutzt. Dennoch wird die Bezeichnung ebenfalls in der `F33f`_`[Zeitreihenanalyse`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Zeitreihenanalyse]`_`f verwendet, wo sie eine andere Bedeutung hat. In jedem Fall wird die Attribution „linear“ benutzt, um sich auf eine bestimmte Klasse von Modellen zu beziehen.

>>Contents

• `F0af`_`[Lineare Regressionsmodelle`#lineare-regressionsmodelle]`_`f

• `F0af`_`[Literatur`#literatur]`_`f

-─

>>Lineare Regressionsmodelle

→

Hauptartikel

:

Lineare Regression

Im Fall der linearen Regression definiert man ein lineares Modell wie folgt: Es sei die `F33f`_`[Zufallsstichprobe`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Zufallsstichprobe]`_`f ( Y i ; X i 1 , … … , X i p ) , i = 1 , … … , n {\\displaystyle (Y_{i};X_{i1},\\ldots ,X_{ip}),\\,i=1,\\ldots ,n} gegeben, mit den `F33f`_`[Realisierungen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Realisierung_(Stochastik)]`_`f X 1 = x 1 , … … , X n = x n {\\displaystyle X_{1}=x_{1},\\ldots ,X_{n}=x_{n}} . Die Beziehung zwischen den `F33f`_`[abhängigen Variablen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Abhängige_Variable]`_`f Y {\\displaystyle Y} und den `F33f`_`[unabhängigen Variablen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Unabhängige_Variable]`_`f x 1 , … … x n {\\displaystyle x_{1},\\ldots x_{n}} wird wie folgt formuliert:

Y i = β β 0 + β β 1 ϕ ϕ 1 ( x i 1 ) + … … + β β p ϕ ϕ p ( x i p ) + ε ε i , i = 1 , … … , n {\\displaystyle Y_{i}=\\beta _{0}+\\beta _{1}\\phi _{1}(x_{i1})+\\ldots +\\beta _{p}\\phi _{p}(x_{ip})+\\varepsilon _{i}\\quad ,i=1,\\ldots ,n} ,

wobei ϕ ϕ 1 , … … , ϕ ϕ p {\\displaystyle \\phi _{1},\\ldots ,\\phi _{p}} nicht-lineare Funktionen darstellen können. In der obigen Regressionsgleichung stellen die `F33f`_`[Störterme`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Störterm]`_`f ε ε i {\\displaystyle \\varepsilon _{i}} Zufallsvariablen dar. Das Beiwort ergibt sich aus der Forderung, dass die Regressionsgleichung `F33f`_`[linear`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Lineare_Abbildung]`_`f in den `F33f`_`[Regressionsparametern`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Regressionsparameter]`_`f β β j {\\displaystyle \\beta _{j}} ist. Beispielsweise wäre β β j 2 {\\displaystyle \\beta _{j}^{2}} nicht zulässig. Alternativ zur obigen Gleichung kann man auch sagen, dass die vorhergesagten Werte der abhängigen Variablen durch die folgende Gleichung gegeben sind:

Y ^ ^ i = b 0 + b 1 ϕ ϕ 1 ( x i 1 ) + … … + b p ϕ ϕ p ( x i p ) , i = 1 , … … , n {\\displaystyle {\\widehat {Y}}_{i}=b_{0}+b_{1}\\phi _{1}(x_{i1})+\\ldots +b_{p}\\phi _{p}(x_{ip})\\quad ,i=1,\\ldots ,n} .

Unter der Annahme, dass die Schätzung der Regressionsparameter und der `F33f`_`[Fehlervarianz`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Erwartungstreue_Schätzung_der_Varianz_der_Störgrößen]`_`f mithilfe der `F33f`_`[Methode der kleinsten Quadrate`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Methode_der_kleinsten_Quadrate]`_`f durchgeführt wird, ergibt sich folgendes Kleinste-Quadrate-Minimierungskriterium:

Q = ∑ ∑ i = 1 n ( Y i − − β β 0 − − β β 1 ϕ ϕ 1 ( x i 1 ) − − … … − − β β p ϕ ϕ p ( x i p ) ) 2 → → M i n ! {\\displaystyle Q=\\sum _{i=1}^{n}\\left(Y_{i}-\\beta _{0}-\\beta _{1}\\phi _{1}(x_{i1})-\\ldots -\\beta _{p}\\phi _{p}(x_{ip})\\right)^{2}\\rightarrow \\mathrm {Min!} } .

Daraus kann man leicht erkennen, dass der „lineare“ Aspekt des Modells folgendes bedeutet:

Die zu minimierende Funktion ist eine `F33f`_`[quadratische Funktion`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Quadratische_Funktion]`_`f der `F33f`_`[Regressionskoeffizienten`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Regressionskoeffizient]`_`f β β j {\\displaystyle \\beta _{j}} . Die `F33f`_`[Ableitungen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Differentialrechnung]`_`f der Funktion sind lineare Funktionen von β β j {\\displaystyle \\beta _{j}} , die es einfach machen, die `F33f`_`[Parameterschätzer`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Punktschätzer]`_`f zu finden. Die Parameterschätzer b 0 , … … , b p {\\displaystyle b_{0},\\ldots ,b_{p}} sind lineare Funktionen der Zufallsvariablen Y i {\\displaystyle Y_{i}} .

>>Literatur

• Ludwig Fahrmeir, Thomas Kneib, Stefan Lang: Regression: Modelle, Methoden und Anwendungen. 2. Auflage. Springer Verlag, 2009, ISBN 978-3-642-01836-7.

`c`F0af`_`[↑ Back to top`#top]`_`f`a